Calcule o limite, se existir.
n) lim x infty(1+5x-1)^x+7

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções na forma se comportam quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para facilitar a análise. Observe que o denominador 1 + 5x - 1 approx 1 + 5x pode ser aproximado por quando tende ao infinito, pois a diferença entre e se torna insignificante. Assim:

Passo 3

Agora, a expressão do limite fica aproximadamente:
(1 + 5x)^x + 7
Podemos dividir o expoente em duas partes para facilitar:
(1 + 5x)^x times (1 + 5x)^7

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, a parte limx to infty (1 + ax)^x = e^a . Sabemos que:
limx to infty (1 + 5x)^x = e^5
Neste caso, , então:

Passo 5

Agora, vejamos a segunda parte: limx to infty (1 + 5x)^7 = 1^7 = 1 . Quando tende ao infinito, tende a zero. Portanto:

Passo 6

Multiplicando as duas partes, temos:
limx to infty (1 + 5x)^x times limx to infty (1 + 5x)^7 = e^5 times 1 = e^5

Resposta

O limite é igual a .

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