Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização e a diferencial da função no ponto dado.
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função é diferenciável em um ponto específico. Depois disso, temos que encontrar a linearização e a diferencial dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, diferenciabilidade, linearização e diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos mostrar que a função é diferenciável no ponto dado. Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Vamos supor que o ponto em questão seja , onde para evitar divisão por zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais no ponto . Como , o denominador nunca é zero perto desse ponto, garantindo que as derivadas parciais são contínuas em . Portanto, a função é diferenciável em .

Passo 5

Com a função sendo diferenciável em , podemos encontrar a linearização e a diferencial no ponto .
A linearização é dada por:
E a diferencial é:

Resposta

A função é diferenciável no ponto com . A linearização no ponto é:
E a diferencial da função no ponto é:

Exercícios relacionados

Se , calcule a derivada direcional de no ponto na direção da curva definida por em para crescendo.
Calcule o limite, se existir:
j)
Seja
Mostre que , mas que o gráfico de não tem plano tangente em .
Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a) ;