Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização e a diferencial da função no ponto dado.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função
é diferenciável em um ponto específico. Depois disso, temos que encontrar a linearização e a diferencial dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, diferenciabilidade, linearização e diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos mostrar que a função
é diferenciável no ponto dado. Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Vamos supor que o ponto em questão seja
, onde
para evitar divisão por zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais no ponto
. Como
, o denominador
nunca é zero perto desse ponto, garantindo que as derivadas parciais são contínuas em
. Portanto, a função
é diferenciável em
.
Passo 5
Com a função sendo diferenciável em
, podemos encontrar a linearização
e a diferencial
no ponto
.
A linearização é dada por:
E a diferencial é:
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
com
. A linearização no ponto
é:
E a diferencial da função no ponto
é:
Exercícios relacionados
Se
, calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção da curva definida por
em
para
crescendo.
Calcule o limite, se existir:
j)
j)
Seja
Mostre que , mas que o gráfico de
não tem plano tangente em
.
Mostre que
Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a) ;
(a)