Se f(x, y) = e^(x + y), calcule a derivada direcional de f no ponto 1,1 na direção da curva definida por g(t) = (t^2, t^3) em g(2) para t crescendo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção da curva definida por no ponto quando está aumentando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva :
No entanto, como queremos a derivada no ponto , vamos verificar se há alguma confusão. Parece que precisamos ajustar isso. Vamos assumir que queremos a derivada direcional no ponto , seguindo a direção da curva em .
Calculando :
Então, estamos no ponto certo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, derivamos em relação a :
Então, em :
Esse vetor é a direção da curva no ponto .

Passo 4

Para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção da curva. Primeiro, encontramos o módulo do vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, no ponto :

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção da curva em é .

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