Se
, calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção da curva definida por
em
para
crescendo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção da curva definida por
no ponto
quando
está aumentando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente a derivada direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto
na curva
:
No entanto, como queremos a derivada no ponto
, vamos verificar se há alguma confusão. Parece que precisamos ajustar isso. Vamos assumir que queremos a derivada direcional no ponto
, seguindo a direção da curva
em
.
Calculando
:
Então, estamos no ponto certo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva
no ponto
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Então, em
:
Esse vetor
é a direção da curva no ponto
.
Passo 4
Para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção da curva. Primeiro, encontramos o módulo do vetor
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, no ponto
:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da curva
em
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se existir:
j)
j)
Se a temperatura, em um ponto
de uma bola sólida de raio 3 centrada em (
), é dada por
. Ache a direção, a partir de
, na qual a temperatura cresce mais rapidamente.
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização e a diferencial da função no ponto dado.
,
Seja
Mostre que , mas que o gráfico de
não tem plano tangente em
.
Mostre que