Calcule o limite, se existir.
k) lim x 0(x cdot sec x cdot csc x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso está relacionado ao estudo de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender o que são as funções secante ( ) e cosecante ( ), além de como elas se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que:
sec x = 1cos x e csc x = 1sin x
Então, podemos reescrever a expressão original substituindo essas definições:
x cdot sec x cdot csc x = x cdot 1cos x cdot 1sin x = xcos x cdot sin x

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando se aproxima de 0:
  • Sabemos que , e para valores próximos de 0, está quase 1.
  • A função seno tem a propriedade de que , o que nos diz que é aproximadamente igual a quando está perto de 0.

Passo 4

Usando essa última propriedade, podemos aproximar sin x approx x por xcos x cdot sin x approx x1 cdot x = xx = 1 quando está próximo de 0:
Então, substituindo na nossa expressão:

Passo 5

Portanto, concluímos que o limite da expressão quando se aproxima de 0 é:

Resposta

lim x 0(x cdot sec x cdot csc x) = 1

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