Calcule o limite, se existir.
r) lim x 0(1+2x+1)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite . Vamos trabalhar com cálculo de limites, especificamente lidando com expressões que têm a forma . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de logaritmos e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: . Quando se aproxima de 0, o denominador se aproxima de 1, então se aproxima de 2. Isso faz com que a base da potência, , se aproxime de 3. Como o expoente está se aproximando de 0, temos uma forma do tipo , que é igual a 1. Mas para termos certeza, vamos usar uma abordagem mais detalhada.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural para simplificar a expressão. Sabemos que ln(lim x 0(1+2x+1)^x) = lim x 0 x cdot ln(1+2x+1) . Então, vamos transformar o limite da seguinte forma:
Agora, precisamos calcular o limite do lado direito.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
1 + 2x+1 = x+1 + 2x+1 = x+3x+1
Então, temos:
lim x 0 x cdot ln(x+3x+1)

Passo 5

Para resolver esse limite, vamos substituir ln(0+30+1) = ln(3) diretamente:
0 cdot ln(3) = 0
Então, a expressão fica:

Passo 6

Lembrando que lim x 0(1+2x+1)^x = e^0 = 1 do limite original é 0, para encontrar o limite original, usamos a função exponencial:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados