Calcule o limite, se existir.
r)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
. Vamos trabalhar com cálculo de limites, especificamente lidando com expressões que têm a forma
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de logaritmos e propriedades de exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
. Quando
se aproxima de 0, o denominador
se aproxima de 1, então
se aproxima de 2. Isso faz com que a base da potência,
, se aproxime de 3. Como o expoente
está se aproximando de 0, temos uma forma do tipo
, que é igual a 1. Mas para termos certeza, vamos usar uma abordagem mais detalhada.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural para simplificar a expressão. Sabemos que
. Então, vamos transformar o limite da seguinte forma:
Agora, precisamos calcular o limite do lado direito.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, temos:
Passo 5
Para resolver esse limite, vamos substituir
diretamente:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Lembrando que
do limite original é 0, para encontrar o limite original, usamos a função exponencial:
Resposta
O limite é igual a
.
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