Calcule o limite, se existir.
q) lim x 0 (a b)^x-a^xa x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema envolve limites e propriedades de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as potências funcionam quando a base está elevada a uma variável que tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as expressões a^x cdot b^x - a^xa x = a^x (b^x - 1)a x e . Sabemos que . Assim, a expressão do limite fica:

Passo 3

Podemos simplificar limx 0 a^x - 1 cdot b^x - 1x para , então o limite agora é:

Passo 4

Vamos analisar cada parte do produto separadamente. Sabemos que limx 0 b^x - 1x = ln(b) , já que .
Agora, focamos no segundo fator . Esse limite é conhecido e igual a . Portanto:

Resposta

Multiplicando os dois limites, temos:
1a cdot ln(b) = ln(b)a
Portanto, o limite é .

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