Calcule o limite, se existir
(l) lim x -1 x^4-1x^3-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está ligado ao cálculo de limites, mais especificamente ao uso de técnicas de simplificação de frações algébricas. Vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão e, assim, encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, já que e . A diferença de quadrados pode ser fatorada como . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos continuar fatorando x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) , que também é uma diferença de quadrados:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Então, o numerador completo fatorado fica:

Passo 4

Vamos fatorar o denominador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Isso é uma diferença de cubos, onde . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
x^4 - 1x^3 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)
Podemos simplificar cancelando o fator comum (x + 1)(x^2 + 1)x^2 + x + 1 no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite substituindo (-1 + 1)((-1)^2 + 1)(-1)^2 + (-1) + 1 = 0 times (1 + 1)1 - 1 + 1 = 01 = 0 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 0.

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