Encontre os pontos críticos de
e diga qual o tipo de cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função dada:
Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis em cálculo multivariado. Para encontrar esses pontos críticos, vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais da função em relação a
e . - Resolver um sistema de equações para achar onde essas derivadas são iguais a zero.
- Analisar o tipo de cada ponto crítico encontrado (se é máximo, mínimo ou ponto de sela).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
(
) é obtida diferenciando
em relação a
, tratando
como uma constante:
A derivada parcial em relação a
(
) é obtida diferenciando
em relação a
, tratando
como uma constante:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
e
que fazem ambas as derivadas parciais iguais a zero. Portanto, montamos o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vou usar a método da combinação.
Primeiro, podemos simplificar as equações:
-
=> Dividindo por 3: => -
Agora, temos:
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de
:
Agora, somamos com a segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação simplificada:
(2(28) + y = 8 \
56 + y = 8 \
y = 8 - 56 \
y = -48
]
56 + y = 8 \
y = 8 - 56 \
y = -48
]
Passo 5
Encontramos o ponto crítico em
.
Agora, precisamos determinar o tipo desse ponto: se é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas de segunda ordem e o discriminante
:
Vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Agora, calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto é um máximo local.
Resposta
O ponto crítico é
e é um ponto de máximo local.
Exercícios relacionados
Verifique se o limite existe ou não e calcule caso exista. Justifique sua resposta.
Encontre a equação do plano tangente a superfície
no ponto
.
Suponha que
e seja
. Calcule
e encontre seu valor numericamente em
.
Calcule o limite, se existir, de:
.