Encontre os pontos críticos de
w = -3*x^2 - 3*x*y - y^2 - 12*y + 24*x
e diga qual o tipo de cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função dada:
Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis em cálculo multivariado. Para encontrar esses pontos críticos, vamos precisar:
  • Calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Resolver um sistema de equações para achar onde essas derivadas são iguais a zero.
  • Analisar o tipo de cada ponto crítico encontrado (se é máximo, mínimo ou ponto de sela).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a ( ) é obtida diferenciando em relação a , tratando como uma constante:
A derivada parcial em relação a ( ) é obtida diferenciando em relação a , tratando como uma constante:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de e que fazem ambas as derivadas parciais iguais a zero. Portanto, montamos o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vou usar a método da combinação.
Primeiro, podemos simplificar as equações:
  1. => Dividindo por 3: =>
Agora, temos:
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, somamos com a segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação simplificada:
(2(28) + y = 8 \
56 + y = 8 \
y = 8 - 56 \
y = -48
]

Passo 5

Encontramos o ponto crítico em .
Agora, precisamos determinar o tipo desse ponto: se é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas de segunda ordem e o discriminante :
Vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Agora, calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto é um máximo local.

Resposta

O ponto crítico é e é um ponto de máximo local.

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