Suponha que x^2 y+x z^2=5 e seja w=x^3 y. Calcule partial wpartial z e encontre seu valor numericamente em (x, y, z)=(1,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve derivadas parciais, que é um conceito de cálculo diferencial. Precisamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , e depois achar o valor dessa derivada no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , e e podem depender de . Mas, olhando a equação dada , percebemos que pode ser expressa em função de e . Então, para achar , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos resolver a equação x^2 y = 5 - x z^2 para y = 5 - x z^2x^2 = 5x^2 - z^2x . Assim:

Passo 4

Agora, substituímos w = x^3 y = x^3 (5x^2 - z^2x) = 5x - x^2 z^2 na expressão de :

Passo 5

Com partial wpartial z = partialpartial z (5x - x^2 z^2) = -2x^2 z expresso apenas em termos de e , podemos calcular . Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos os valores partial wpartial z = -2 times 1^2 times 2 = -4 e na expressão da derivada:

Resposta

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