Calcule o limite, se existir.
lim t 0(1t-1t^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o limite da expressão . Essa questão está relacionada ao estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada fração separadamente. Olha só:
  • : Conforme se aproxima de 0, essa fração cresce sem limite. Mas precisa prestar atenção na direção de chegando a 0. Se vem de valores positivos, vai para . Se vem de negativos, vai para .
  • : Aqui, conforme se aproxima de 0, o denominador fica , então essa fração fica .

Passo 3

Agora, juntando as duas partes:
1t - 1t^2 + 1 approx 1t - 1
Isso significa que o comportamento principal do limite vai depender do que acontece com quando chega perto de 0.

Passo 4

Vamos considerar os dois lados:
  1. Quando lim t 0^+(1t - 1t^2+1) = +infty - 1 = +infty : lim t 0^-(1t - 1t^2+1) = -infty - 1 = -infty está vindo de valores positivos, então . Assim,
  1. Quando : está vindo de valores negativos, então . Assim,

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), a gente conclui que o limite geral não existe. Isso porque, para o limite existir, os dois lados precisam convergir para o mesmo valor.

Resposta

O limite não existe.

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