Calcule o limite, se existir. lim t 3 t^3-27t^2-9;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 3 para a expressão . Isso envolve conceitos de limites em cálculo, e para resolver vamos precisar entender como simplificar expressões e usar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 3^3 - 273^2 - 9 = 27 - 279 - 9 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Observamos que a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) é uma diferença de cubos e t^3 - 27 = t^3 - 3^3 = (t - 3)(t^2 + 3t + 9) é uma diferença de quadrados.
A diferença de cubos é dada por:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aplicando isso ao numerador:
t^2 - 9 = t^2 - 3^2 = (t - 3)(t + 3)
A diferença de quadrados é dada por:
Aplicando isso ao denominador:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na fração original:
t^3 - 27t^2 - 9 = (t - 3)(t^2 + 3t + 9)(t - 3)(t + 3)
Podemos cancelar o termo t^2 + 3t + 9t + 3 que aparece no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo limt 3 t^2 + 3t + 9t + 3 = 3^2 + 3 cdot 3 + 93 + 3 = 9 + 9 + 96 = 276 = 92 :

Resposta

O limite é .

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