Calcule o limite, se existir. lim t 1 t^3-tt^2-1

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Vamos usar conceitos de limites do cálculo, especificamente a técnica de simplificação de frações para resolver expressões que dão forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3 - 11^2 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente encontrou uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada como , uma boa estratégia é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo comum.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador t^3 - t = t(t^2 - 1) = t(t - 1)(t + 1) :
t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)
E o denominador t(t - 1)(t + 1)(t - 1)(t + 1) também pode ser fatorado:
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Agora, a gente pode cancelar os fatores comuns t cancel(t - 1) cancel(t + 1)cancel(t - 1) cancel(t + 1) = t e no numerador e denominador:
Então, a expressão simplificada é apenas .

Passo 6

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo limt 1 t = 1 por 1:

Resposta

O limite é 1.

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