Use os teoremas vistos na sala de aula para mostrar que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos mostrar que ela é contínua em seu domínio. Para isso, vamos identificar o domínio da função e, em seguida, aplicar os teoremas de continuidade que aprendemos na sala de aula.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Para que
esteja definida, duas condições devem ser atendidas:
- O denominador
não pode ser zero. - A expressão dentro da raiz quadrada
deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Passo 4
Vamos resolver a segunda condição primeiro:
Isso significa que
ou
.
Passo 5
Agora, vamos garantir que o denominador não seja zero:
Observando a expressão
, sabemos que para
,
é sempre positiva, então
.
Para
,
é negativo e
é positiva. Porém,
, então:
Portanto, o denominador nunca é zero nos intervalos considerados.
Passo 6
Com as duas condições satisfeitas, o domínio de
é:
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
é contínua em seu domínio. A função
é formada por operações contínuas:
- A função identidade
é contínua. - A função raiz quadrada
é contínua onde está definida. - A soma
é contínua onde ambas as funções são contínuas. - A função recíproca
é contínua onde .
Como todas as operações são contínuas no domínio de
, a composição delas também é contínua nesse domínio.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
pertencentes ao domínio
.
Exercícios relacionados
Explique por que a função é descontínua no número
dado. Esboce o gráfico da função.
Calcule o limite, se existir.
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas.
Calcule o limite, se existir.