Use os teoremas vistos na sala de aula para mostrar que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e precisamos mostrar que ela é contínua em seu domínio. Para isso, vamos identificar o domínio da função e, em seguida, aplicar os teoremas de continuidade que aprendemos na sala de aula.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Para que esteja definida, duas condições devem ser atendidas:
  1. O denominador não pode ser zero.
  2. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 4

Vamos resolver a segunda condição primeiro:
Isso significa que ou .

Passo 5

Agora, vamos garantir que o denominador não seja zero:
Observando a expressão , sabemos que para , é sempre positiva, então .
Para , é negativo e é positiva. Porém, , então:
Portanto, o denominador nunca é zero nos intervalos considerados.

Passo 6

Com as duas condições satisfeitas, o domínio de é:

Passo 7

Agora, vamos mostrar que é contínua em seu domínio. A função é formada por operações contínuas:
  • A função identidade é contínua.
  • A função raiz quadrada é contínua onde está definida.
  • A soma é contínua onde ambas as funções são contínuas.
  • A função recíproca é contínua onde .
Como todas as operações são contínuas no domínio de , a composição delas também é contínua nesse domínio.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de pertencentes ao domínio .

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