Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos entender por que ela não é contínua no ponto . A matéria aqui envolve conceitos de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos verificar os limites da função e ver se eles combinam com o valor da função em . Também vamos dar uma olhada em como essa função se comporta no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Ela está definida de duas maneiras: para qualquer valor de diferente de 1, e especificamente quando .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar isso para .

Passo 4

Primeiro, vemos que está bem definido.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Olhando para a expressão :
Quando se aproxima de 1, fica muito pequeno e positivo, então fica muito grande, e com o sinal negativo, isso significa que o limite é .

Passo 6

Agora, comparamos:
Como o limite não é igual ao valor da função, a função não é contínua em .

Passo 7

Finalmente, vamos esboçar o gráfico. Para , a função é uma parábola invertida que fica muito baixa perto de , aproximando-se de . No ponto , a função tem um buraco nesse ponto e está definida como 0, o que cria uma descontinuidade.

Resposta

A função é descontínua em porque o limite quando se aproxima de 1 é , que não coincide com o valor da função em 1, que é 0. O gráfico mostra uma parábola invertida com um buraco em onde a função é definida como 0.

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