Calcule o limite, se existir.
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se o limite pode ser calculado dessa forma:
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que significa que temos uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Quando o denominador se aproxima de zero, precisamos analisar o comportamento da função. Vamos observar os sinais do numerador e do denominador quando
se aproxima de
:
- O numerador
é sempre positivo, já que, para , ele vale 24 e não há raízes reais que o tornem negativo. - O denominador
se aproxima de zero. Se se aproxima de pela esquerda (valores menores que ), será negativo. Se se aproxima pela direita (valores maiores que ), será positivo.
Passo 4
Com base nisso, vamos analisar os dois lados do limite:
-
Da esquerda: Quando
, o denominador é negativo e se aproxima de zero, enquanto o numerador é positivo. Portanto, a fração toda tende a . -
Da direita: Quando
, o denominador é positivo e se aproxima de zero, enquanto o numerador permanece positivo. Assim, a fração toda tende a .
Passo 5
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (
e
respectivamente), o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois tende a
pela esquerda e a
pela direita.
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dado. Esboce o gráfico da função.