Calcule o limite, se existir.

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se o limite pode ser calculado dessa forma:
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que significa que temos uma indeterminação do tipo .

Passo 3

Quando o denominador se aproxima de zero, precisamos analisar o comportamento da função. Vamos observar os sinais do numerador e do denominador quando se aproxima de :
  • O numerador é sempre positivo, já que, para , ele vale 24 e não há raízes reais que o tornem negativo.
  • O denominador se aproxima de zero. Se se aproxima de pela esquerda (valores menores que ), será negativo. Se se aproxima pela direita (valores maiores que ), será positivo.

Passo 4

Com base nisso, vamos analisar os dois lados do limite:
  • Da esquerda: Quando , o denominador é negativo e se aproxima de zero, enquanto o numerador é positivo. Portanto, a fração toda tende a .
  • Da direita: Quando , o denominador é positivo e se aproxima de zero, enquanto o numerador permanece positivo. Assim, a fração toda tende a .

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( e respectivamente), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois tende a pela esquerda e a pela direita.

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