Calcule o limite, se existir. lim x -3 x^2-x+12x+3

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x -3 x^2-x+12x+3. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse, que nesse caso é x = -3.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -3 diretamente na expressão para ver se o limite pode ser calculado dessa forma:
(-3)^2 - (-3) + 12-3 + 3 = 9 + 3 + 120 = 240
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que significa que temos uma indeterminação do tipo 240.

Passo 3

Quando o denominador se aproxima de zero, precisamos analisar o comportamento da função. Vamos observar os sinais do numerador e do denominador quando x se aproxima de -3:
  • O numerador x^2 - x + 12 é sempre positivo, já que, para x = -3, ele vale 24 e não há raízes reais que o tornem negativo.
  • O denominador x + 3 se aproxima de zero. Se x se aproxima de -3 pela esquerda (valores menores que -3), x + 3 será negativo. Se se aproxima pela direita (valores maiores que -3), x + 3 será positivo.

Passo 4

Com base nisso, vamos analisar os dois lados do limite:
  • Da esquerda: Quando x -3^-, o denominador x + 3 é negativo e se aproxima de zero, enquanto o numerador é positivo. Portanto, a fração toda tende a -infty.
  • Da direita: Quando x -3^+, o denominador x + 3 é positivo e se aproxima de zero, enquanto o numerador permanece positivo. Assim, a fração toda tende a +infty.

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( -infty e +infty respectivamente), o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim x -3 x^2-x+12x+3 não existe, pois tende a -infty pela esquerda e a +infty pela direita.

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