Calcule o limite, se existir.
lim x 1 x^4-1x^3-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função x^4-1x^3-1 quando x se aproxima de 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de fatoração e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Vamos começar observando o numerador e o denominador da fração. Ambos são polinômios que podem ser fatorados usando fórmulas de fatoração conhecidas. Fatorar ajuda a simplificar a expressão e, assim, calcular o limite mais facilmente.

Passo 3

Primeiro, fatoramos o numerador x^4 - 1. Lembrando que x^4 - 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1). Além disso, x^2 - 1 também é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada como (x - 1)(x + 1). Assim, o numerador fica:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Passo 4

Agora, fatoramos o denominador x^3 - 1. Isso é uma diferença de cubo, que pode ser fatorada como (x - 1)(x^2 + x + 1). Portanto, o denominador fica:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 5

Substituímos as fatorações na expressão original:
x^4 - 1x^3 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 6

Observamos que tanto no numerador quanto no denominador tem o fator (x - 1). Podemos cancelar esse fator comum, desde que x neq 1. Então, simplificamos a expressão para:
(x + 1)(x^2 + 1)x^2 + x + 1

Passo 7

Agora podemos substituir x = 1 na expressão simplificada:
(1 + 1)(1^2 + 1)1^2 + 1 + 1 = 2 times 21 + 1 + 1 = 43

Resposta

O limite é 43.

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