Calcule o limite, se existir.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função
quando
se aproxima de 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de fatoração e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Vamos começar observando o numerador e o denominador da fração. Ambos são polinômios que podem ser fatorados usando fórmulas de fatoração conhecidas. Fatorar ajuda a simplificar a expressão e, assim, calcular o limite mais facilmente.
Passo 3
Primeiro, fatoramos o numerador
. Lembrando que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como
. Além disso,
também é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada como
. Assim, o numerador fica:
Passo 4
Agora, fatoramos o denominador
. Isso é uma diferença de cubo, que pode ser fatorada como
. Portanto, o denominador fica:
Passo 5
Substituímos as fatorações na expressão original:
Passo 6
Observamos que tanto no numerador quanto no denominador tem o fator
. Podemos cancelar esse fator comum, desde que
. Então, simplificamos a expressão para:
Passo 7
Agora podemos substituir
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
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Dado que
Encontre, se existir, o limite, caso não exista, explique por quê.
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Encontre o valor de
de modo que a derivada da função
em
seja
, ou seja,
.