Encontre o valor de
de modo que a derivada da função
em
seja
, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
no intervalo
tal que a derivada da função
em
seja igual a
. Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função definida por uma integral onde o limite superior é
. Para encontrar a derivada
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é dada pela função integranda avaliada nesse limite vezes a derivada desse limite. Ou seja,
Passo 4
Calculando a derivada dentro da expressão:
Portanto,
Passo 5
Agora, queremos que
. Então, substituímos
na expressão da derivada:
Passo 6
Igualamos essa expressão a
:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por 6:
Passo 8
Sabemos que
quando
ou
para qualquer inteiro
. Porém, como
está entre 1 e 4 e
, vamos considerar apenas a solução principal:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas.
Calcule o limite, se existir.
Um carro de corrida está indo a 60 metros por segundo quando o piloto avista uma pessoa na pista 300 metros à frente e pisa nos freios. As seguintes leituras da velocidade do carro em vários momentos são fornecidas na tabela abaixo. O tempo é medido em segundos (desde que o piloto acionou os freios) e as velocidades são medidas em metros por segundo.
Tempo | 0 | 2 | 4 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
Velocidade | 60 | 50 | 30 | 12 | 0 |
Dê estimativas das distâncias mínima e máxima que o carro percorrerá depois que os freios forem acionados. Se a pessoa congelar e não se mover, o carro atingirá a pessoa?
Calcule