Encontre o valor de 1 de modo que a derivada da função
F(x)=integral0^a x cos (t)t d t
em x=pi6 seja 3pi, ou seja, F^prime(pi6)=3pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de F(x) = integral0^a x cos(t)t , dt no intervalo tal que a derivada da função
em seja igual a . Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função definida por uma integral onde o limite superior é . Para encontrar a derivada , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é dada pela função integranda avaliada nesse limite vezes a derivada desse limite. Ou seja,
F'(x) = cos(a x)a x cdot ddx(a x)

Passo 4

Calculando a derivada dentro da expressão:
ddx(a x) = a
Portanto,
F'(x) = cos(a x)a x cdot a = cos(a x)x

Passo 5

Agora, queremos que F'(pi6) = cos(a cdot pi6)pi6 = 6 cos(a pi6)pi . Então, substituímos na expressão da derivada:

Passo 6

Igualamos essa expressão a 6 cos(a pi6)pi = 3pi :
6 cos(a pi6) = 3
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 6:
cos(a pi6) = 36 = 12

Passo 8

Sabemos que a pi6 = pi3 quando ou para qualquer inteiro . Porém, como está entre 1 e 4 e , vamos considerar apenas a solução principal:

Passo 9

Resolvendo para a = pi3 cdot 6pi = 2 :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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