Calcule o limite, se existir.
lim x -1 x^2+2 x+1x^4-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de para a função . Isso envolve conceitos de limites e fatoração de polinômios. Vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 . Esse é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador: x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) . Isso é uma diferença de potências e pode ser fatorado usando a fórmula . Aplicando isso:

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^2+2x+1x^4-1 = (x + 1)^2(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração. Podemos cancelar um dos termos (x + 1)^2(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) = x + 1(x^2 + 1)(x - 1) do numerador com o do denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo limx to -1 x + 1(x^2 + 1)(x - 1) = -1 + 1((-1)^2 + 1)(-1 - 1) = 0(1 + 1)(-2) = 0-4 = 0 por :

Resposta

O limite é igual a 0.

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