Calcule o limite, se existir.
lim x 0 (3+x)^-1-3^-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular quando se aproxima de 0 na expressão . Esse exercício envolve conceitos de limites e manipulação algébrica básica. Vamos precisar lembrar como somar e subtrair frações e simplificar expressões para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a manipulação. Lembre-se que 13+x - 13x é o mesmo que e é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos subtrair as duas frações no numerador. Para isso, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 3 - (3+x)3(3+x)x e é . Então, reescrevemos as frações:

Passo 4

Simplificando o numerador dentro das chaves:
3 - (3 + x) = 3 - 3 - x = -x
Então, a expressão fica:
-x3(3+x)x

Passo 5

Agora, podemos simplificar a divisão por -x3(3+x) times 1x = -13(3+x) . Dividir por é o mesmo que multiplicar por :

Passo 6

Para encontrar o limite quando -13(3+0) = -13 times 3 = -19 se aproxima de 0, substituímos por 0 na expressão simplificada:

Resposta

lim x 0 (3+x)^-1-3^-1x = -19

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