Calcule o limite, se existir: lim x 0 3 x^4+x^3-5 x^2+2 xx^2-x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, fatorar o numerador e o denominador e, assim, facilitar a avaliação do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador 3x^4 + x^3 - 5x^2 + 2x = x(3x^3 + x^2 - 5x + 2) e o denominador x^2 - x = x(x - 1) . Observamos que ambos têm como fator comum. Então, vamos fatorar em ambos:
Numerador:
Denominador:

Passo 3

Agora, substituímos essas fatorações na expressão original:
x(3x^3 + x^2 - 5x + 2)x(x - 1)
Aí, podemos cancelar o 3x^3 + x^2 - 5x + 2x - 1 que está no numerador e no denominador, já que (estamos considerando o limite quando se aproxima de 0, mas não exatamente 0):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando limx to 0 3x^3 + x^2 - 5x + 2x - 1 se aproxima de 0:
3(0)^3 + (0)^2 - 5(0) + 2 = 0 + 0 + 0 + 2 = 2
Substituindo 0 - 1 = -1 :
Numerador:
Denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:
limx to 0 3x^4 + x^3 - 5x^2 + 2xx^2 - x = -2

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