Calcule o limite, se existir:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 para a expressão:
Estamos lidando com limites que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão, possivelmente utilizando a técnica de racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão. Substituindo no numerador:
Agora, no denominador:
Obtemos a forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos começar racionalizando o numerador e o denominador separadamente. A ideia é eliminar as raízes para facilitar a simplificação. Vamos multiplicar e dividir o numerador por seu conjugado:
Fazendo isso, temos:
Isso simplifica o numerador e o denominador usando a identidade
.
Passo 4
Aplicando a identidade, vamos simplificar o numerador:
E o denominador:
Agora nossa expressão está:
Passo 5
Vamos fatorar o numerador e o denominador do primeiro termo:
Para , buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. São
e
:
Para
Para
, buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. São
e
:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 6
Podemos cancelar o termo
que aparece no numerador e no denominador:
Agora, substituímos
nessa expressão simplificada.
Passo 7
Calculando cada parte separadamente:
Para com
:
Para
Para
com
:
Para
com
:
Para
com
:
Agora, substituindo na expressão:
Resposta
O limite quando
se aproxima de 2 é
.
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Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo: