Calcule o limite, se existir:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 2 para a expressão:
Estamos lidando com limites que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão, possivelmente utilizando a técnica de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão. Substituindo no numerador:
Agora, no denominador:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar racionalizando o numerador e o denominador separadamente. A ideia é eliminar as raízes para facilitar a simplificação. Vamos multiplicar e dividir o numerador por seu conjugado:
Fazendo isso, temos:
Isso simplifica o numerador e o denominador usando a identidade .

Passo 4

Aplicando a identidade, vamos simplificar o numerador:
E o denominador:
Agora nossa expressão está:

Passo 5

Vamos fatorar o numerador e o denominador do primeiro termo:
Para , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . São e :
Para , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . São e :
Agora, nossa expressão fica:

Passo 6

Podemos cancelar o termo que aparece no numerador e no denominador:
Agora, substituímos nessa expressão simplificada.

Passo 7

Calculando cada parte separadamente:
Para com :
Para com :
Para com :
Para com :
Agora, substituindo na expressão:

Resposta

O limite quando se aproxima de 2 é .

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Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo: