Calcule o limite, se existir: lim x 2 raiz2 x^2-3 x+2-2raiz3 x^2-5 x-1-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando limx 2 raiz2x^2 - 3x + 2 - 2raiz3x^2 - 5x - 1 - 1 se aproxima de 2 para a expressão:
Estamos lidando com limites que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão, possivelmente utilizando a técnica de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz2(2)^2 - 3(2) + 2 - 2 = raiz8 - 6 + 2 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0 diretamente na expressão. Substituindo no numerador:
raiz3(2)^2 - 5(2) - 1 - 1 = raiz12 - 10 - 1 - 1 = raiz1 - 1 = 1 - 1 = 0
Agora, no denominador:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar racionalizando o numerador e o denominador separadamente. A ideia é eliminar as raízes para facilitar a simplificação. Vamos multiplicar e dividir o numerador por seu conjugado:
raiz2x^2 - 3x + 2 - 2 mu
Fazendo isso, temos:
(raiz2x^2 - 3x + 2 - 2)(raiz2x^2 - 3x + 2 + 2)(raiz3x^2 - 5x - 1 - 1)(raiz3x^2 - 5x - 1 + 1)
Isso simplifica o numerador e o denominador usando a identidade .

Passo 4

Aplicando a identidade, vamos simplificar o numerador:
(raiz2x^2 - 3x + 2)^2 - (2)^2 = (2x^2 - 3x + 2) - 4 = 2x^2 - 3x - 2
E o denominador:
(raiz3x^2 - 5x - 1)^2 - (1)^2 = (3x^2 - 5x - 1) - 1 = 3x^2 - 5x - 2
Agora nossa expressão está:
2x^2 - 3x - 23x^2 - 5x - 2 times raiz3x^2 - 5x - 1 + 1raiz2x^2 - 3x + 2 + 2

Passo 5

Vamos fatorar o numerador e o denominador do primeiro termo:
Para 2x^2 - 4x + x - 2 = (2x^2 - 4x) + (x - 2) = 2x(x - 2) + 1(x - 2) = (2x + 1)(x - 2) , buscamos dois números que multiplicados dão 3x^2 - 6x + x - 2 = (3x^2 - 6x) + (x - 2) = 3x(x - 2) + 1(x - 2) = (3x + 1)(x - 2) e somados dão (2x + 1)(x - 2)(3x + 1)(x - 2) times raiz3x^2 - 5x - 1 + 1raiz2x^2 - 3x + 2 + 2 . São e :
Para , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . São e :
Agora, nossa expressão fica:

Passo 6

Podemos cancelar o termo 2x + 13x + 1 times raiz3x^2 - 5x - 1 + 1raiz2x^2 - 3x + 2 + 2 que aparece no numerador e no denominador:
Agora, substituímos nessa expressão simplificada.

Passo 7

Calculando cada parte separadamente:
Para 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 com 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7 :
raiz3(4) - 10 - 1 + 1 = raiz12 - 10 - 1 + 1 = raiz1 + 1 = 1 + 1 = 2
Para raiz8 - 6 + 2 + 2 = raiz4 + 2 = 2 + 2 = 4 com 57 times 24 = 57 times 12 = 514 :
Para com :
Para com :
Agora, substituindo na expressão:

Resposta

O limite quando se aproxima de 2 é .

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