Calcule o limite, se existir: lim x infty raiz4 x+32+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve limites, que é o estudo de como uma função se comporta quando a variável se aproxima de um certo valor, nesse caso, o infinito. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da raiz dividindo cada termo pelo maior expoente de 4x + 32 + x = x(4 + 3x)x(1 + 2x) que está no denominador, que aqui é . Isso ajuda a entender o comportamento da função para valores muito grandes de .
Então, temos:

Passo 3

Agora, podemos cancelar o 4 + 3x1 + 2x que está no numerador e no denominador:
Isso simplifica a expressão e facilita o próximo passo.

Passo 4

Quando 4 + 01 + 0 = 41 = 4 tende ao infinito, os termos e tendem a zero, porque qualquer número dividido por um número muito grande fica próximo de zero. Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, voltamos à expressão original que tinha a raiz quadrada. Sabemos que o limite da fração dentro da raiz é 4, então:
raiz4x + 32 + x approx raiz4 = 2

Resposta

Portanto, o limite quando tende ao infinito de é 2.

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