Use o Teorema do Confronto para mostrar que: lim x 0(x^4 cos 2x)

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0, usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para resolver isso, vamos precisar entender como esse teorema funciona e aplicá-lo à função dada.

Passo 2

Primeiro, lembre que a função cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos 2x <= 1
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por -x^4 <= x^4 cos 2x <= x^4 . Como é sempre positivo (independente do valor de ), a desigualdade permanece na mesma direção:

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos calcular o limite das funções que delimitam nosso intervalo, ou seja, limx to 0 (-x^4) = 0 e limx to 0 x^4 = 0 , quando se aproxima de 0:

Passo 4

Como os limites das funções e são iguais e ambos são 0, pelo Teorema do Confronto, o limite da função intermediária também é 0.

Resposta

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