Racionaliza e simplifica

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para racionalizar e simplificar a função . Estamos trabalhando com álgebra, especificamente com funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como eliminar a raiz do denominador e simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa racionalizar. Racionalizar uma expressão com um denominador que tem uma raiz quadrada significa eliminar essa raiz do denominador. Para fazer isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela raiz presente no denominador.

Passo 3

No nosso caso, o denominador é . Então, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 4

Multiplicando os numeradores e os denominadores, temos:

Passo 5

Sabemos que , porque a raiz ao quadrado cancela a raiz. Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 7

Observando que , mas para simplificar nossa expressão, podemos deixar assim ou fatorar de outra maneira dependendo do contexto. Contudo, para manter a simplicidade, vamos deixar a expressão como está:

Resposta

A expressão racionalizada e simplificada é:

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Seja definida por
Dê os ponos onde é descontínua.
Seja . Prove que, para qualquer intervalo , o valor de cuja existência é garantida pelo Teorema do Valor Médio (TVM), é o ponto médio do intervalo.
Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Calcule o limite, se existir.