Seja responda:
Quais são o dominio e a imagem de f ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função definida por partes e queremos descobrir o domínio e a imagem dela. O domínio é basicamente todos os valores de que a função aceita, e a imagem são todos os valores que pode assumir. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e ver quais valores de e estão envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: quando . Aqui, o que precisamos garantir é que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, pois não dá pra tirar raiz de número negativo nesse contexto.

Passo 3

Então, temos . Resolvendo isso:
Mas como já estamos considerando , essa condição já está satisfeita.

Passo 4

Agora, vemos que nessa parte da função, varia de 0 a 1. Então, o domínio dessa parte é .

Passo 5

Vamos para a segunda parte: quando . Aqui, pode ser qualquer número entre 1 e 2, não incluindo 1 e 2. Então, o domínio dessa parte é .

Passo 6

Por fim, a terceira parte é simplesmente quando . Isso significa que para , . O domínio aqui é apenas o ponto .

Passo 7

Juntando todas as partes, o domínio total de é a união desses intervalos:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a imagem de , ou seja, todos os valores que pode assumir.
Na primeira parte, . Quando , , e quando , . Então, os valores de nessa parte variam de 0 a 1.
Na segunda parte, para , então aqui é sempre 1.
Na terceira parte, quando .

Passo 9

Juntando esses valores, a imagem de é:
Ou seja, todos os números entre 0 e 1, inclusive, e também o número 2.

Resposta

O domínio de é e a imagem é .

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Calcule o limite, se existir: