Seja responda:
Quais são o dominio e a imagem de f ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função definida por partes e queremos descobrir o domínio e a imagem dela. O domínio é basicamente todos os valores de que a função aceita, e a imagem são todos os valores que pode assumir. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e ver quais valores de e estão envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: quando . Aqui, o que precisamos garantir é que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, pois não dá pra tirar raiz de número negativo nesse contexto.
Passo 3
Então, temos . Resolvendo isso:
Mas como já estamos considerando , essa condição já está satisfeita.
Passo 4
Agora, vemos que nessa parte da função, varia de 0 a 1. Então, o domínio dessa parte é .
Passo 5
Vamos para a segunda parte: quando . Aqui, pode ser qualquer número entre 1 e 2, não incluindo 1 e 2. Então, o domínio dessa parte é .
Passo 6
Por fim, a terceira parte é simplesmente quando . Isso significa que para , . O domínio aqui é apenas o ponto .
Passo 7
Juntando todas as partes, o domínio total de é a união desses intervalos:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a imagem de , ou seja, todos os valores que pode assumir.
Na primeira parte, . Quando , , e quando , . Então, os valores de nessa parte variam de 0 a 1.
Na segunda parte, para , então aqui é sempre 1.
Na terceira parte, quando .
Passo 9
Juntando esses valores, a imagem de é:
Ou seja, todos os números entre 0 e 1, inclusive, e também o número 2.