Calcule o limite, se existir.
o)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse é um problema de cálculo que envolve limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso porque trabalhar com expoentes pode ser mais fácil quando transformamos a função exponencial em uma soma através do logaritmo natural.
Passo 3
Vamos chamar o limite original de
:
Para facilitar, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos
, podemos trazer o expoente para a frente:
Passo 5
Agora, temos o limite de uma forma que podemos aplicar a regra de L’Hospital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Vamos reescrever a expressão para aplicar essa regra:
À medida que
se aproxima de 0, o numerador e o denominador se aproximam de 0, formando uma indeterminação
.
Passo 6
Aplicamos a regra de L’Hospital, que diz que se
forma
ou
, então esse limite é igual a
, desde que esse último limite exista.
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
Passo 8
Agora que temos
, para encontrar
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
O limite é
.
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