Calcule o limite, se existir.
o) lim x 0(1-k x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0(1 - kx)^1x. Esse é um problema de cálculo que envolve limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso porque trabalhar com expoentes pode ser mais fácil quando transformamos a função exponencial em uma soma através do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos chamar o limite original de L:
L = limx 0 (1 - kx)^1x
Para facilitar, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln L = limx 0 ln((1 - kx)^1x)

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos ln(a^b) = b cdot ln(a), podemos trazer o expoente para a frente:
ln L = limx 0 1x cdot ln(1 - kx)

Passo 5

Agora, temos o limite de uma forma que podemos aplicar a regra de L’Hospital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty. Vamos reescrever a expressão para aplicar essa regra:
ln L = limx 0 ln(1 - kx)x
À medida que x se aproxima de 0, o numerador e o denominador se aproximam de 0, formando uma indeterminação 00.

Passo 6

Aplicamos a regra de L’Hospital, que diz que se limx c f(x)g(x) forma 00 ou inftyinfty, então esse limite é igual a limx c f'(x)g'(x), desde que esse último limite exista.
Aqui, f(x) = ln(1 - kx) e g(x) = x. Vamos calcular as derivadas:
f'(x) = -k1 - kx
g'(x) = 1

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
ln L = limx 0 -k1 - kx = -k1 - 0 = -k

Passo 8

Agora que temos ln L = -k, para encontrar L, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
L = e^-k

Resposta

O limite é e^-k.

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