Calcule o limite, se existir.
o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse é um problema de cálculo que envolve limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso porque trabalhar com expoentes pode ser mais fácil quando transformamos a função exponencial em uma soma através do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos chamar o limite original de :
Para facilitar, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos , podemos trazer o expoente para a frente:

Passo 5

Agora, temos o limite de uma forma que podemos aplicar a regra de L’Hospital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Vamos reescrever a expressão para aplicar essa regra:
À medida que se aproxima de 0, o numerador e o denominador se aproximam de 0, formando uma indeterminação .

Passo 6

Aplicamos a regra de L’Hospital, que diz que se forma ou , então esse limite é igual a , desde que esse último limite exista.
Aqui, e . Vamos calcular as derivadas:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:

Passo 8

Agora que temos , para encontrar , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:

Resposta

O limite é .

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n)
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r)
Calcule o limite, se existir.
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Calcule o limite, se existir.
s)