Calcule o limite, se existir.
n) lim x infty(1+5x-1)^x+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Vamos usar conceitos de cálculo de limites e entender como manipular expressões que parecem complicadas à primeira vista.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Quando (1 + 5x)^x cresce muito, o no denominador e o no expoente se tornam insignificantes comparados a . Então, podemos aproximar a expressão para facilitar a análise:
Isso nos ajuda a relacionar com uma fórmula conhecida de limites que envolve o número .

Passo 3

Lembra daquela fórmula famosa que define o número limn to infty (1 + 1n)^n = e ?
Essa expressão mostra que, conforme cresce, a expressão dentro do limite se aproxima de . Podemos adaptar essa ideia para o nosso caso.

Passo 4

No nosso problema, a fração dentro do parêntese é limx to infty (1 + 5x)^x = e^5 em vez de . Então, ajustamos a fórmula para:
Isso porque o expoente multiplicado pelo dentro do parêntese resulta em , que é a potência de .

Passo 5

Agora, voltando à expressão original , percebemos que, à medida que tende ao infinito, essa expressão se comporta de maneira muito semelhante a , já que o e têm pouca influência quando é muito grande.

Passo 6

Portanto, podemos concluir que:
limx to infty (1 + 5x - 1)^x + 7 = e^5

Resposta

O limite é .

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