Calcule o limite, se existir: lim x 1 2-raiz3+xx-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está ligado ao conteúdo de Limites de Funções e a técnicas de algebra para simplificação. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com radicais e aplicar a técnica de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2 - raiz3+11 - 1 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Isso dá uma forma indeterminada , então precisamos simplificar para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de 2 - raiz3+xx-1 times 2 + raiz3+x2 + raiz3+x é . Então, multiplicamos assim:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
(2 - raiz3+x)(2 + raiz3+x)(x-1)(2 + raiz3+x)
No numerador, aplicamos a identidade 2^2 - (raiz3+x)^2 = 4 - (3 + x) = 1 - x :
1 - x(x-1)(2 + raiz3+x)
Então a expressão fica:

Passo 5

Perceba que -(x - 1)(x - 1)(2 + raiz3+x) . Substituindo isso na expressão:
-12 + raiz3+x
Agora, podemos cancelar o que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo -12 + raiz3+1 = -12 + 2 = -14 :

Resposta

O limite é .

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