Calcule o limite, se existir: lim x 0 x2-raiz4-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos 02 - raiz4 - 0 = 02 - 2 = 00 diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver esse tipo de limite, uma técnica útil é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de x2 - raiz4 - x times 2 + raiz4 - x2 + raiz4 - x = x(2 + raiz4 - x)(2)^2 - (raiz4 - x)^2 é . Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador usando a identidade (2)^2 - (raiz4 - x)^2 = 4 - (4 - x) = 4 - 4 + x = x :
x(2 + raiz4 - x)x
Então, a expressão fica:

Passo 5

Os 2 + raiz4 - x no numerador e denominador se cancelam:
2 + raiz4 - 0 = 2 + 2 = 4
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é igual a 4.

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