Calcule o limite, se existir. lim x -2 x+2x^2-x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites em Cálculo, e vamos precisar entender como simplificar expressões racionais e verificar o comportamento delas quando se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir (-2)+2(-2)^2 - (-2) - 6 = 04 + 2 - 6 = 00 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite diretamente:
Aí, dá a indeterminação , então precisamos simplificar a expressão para resolver.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) . Procuramos dois números que multiplicam para x + 2(x - 3)(x + 2) e somam para . Esses números são e :
Agora, nossa expressão fica:

Passo 4

Podemos cancelar o termo 1x - 3 que está no numerador e no denominador, já que (estamos vendo o limite, não o valor exato em ):

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo limx -2 1x - 3 = 1-2 - 3 = 1-5 = -15 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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