Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas. lim x infty x+4x^2-2 x+5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da função racional . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites de funções racionais, comparando os graus do polinômio no numerador e no denominador.

Passo 2

Vamos identificar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, , o termo de maior grau é , que é de grau 1. No denominador, , o termo de maior grau é , que é de grau 2.

Passo 3

Como o grau do denominador (2) é maior que o grau do numerador (1), sabemos que, para tendendo ao infinito, o comportamento da função será dominado pelo denominador. Isso significa que o valor da função deve se aproximar de zero.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos dividir cada termo do numerador e do denominador por limx to infty xx^2 + 4x^2x^2x^2 - 2xx^2 + 5x^2 = limx to infty 1x + 4x^21 - 2x + 5x^2 , o maior grau presente no denominador:

Passo 5

Agora, observamos que quando 0 + 01 - 0 + 0 = 01 = 0 tende ao infinito, os termos , , e tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a .

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