Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite multivariável: . O conteúdo aqui é sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar o caminho mais simples: manter e deixar se aproximar de 0. Substituindo na função, temos:
Então, pelo caminho , o limite é 2.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos deixar ser proporcional a , ou seja, , onde é uma constante. Substituindo na função:
Aqui, o limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , já vimos que o limite é 2.
  • Se , então o limite é .

Passo 4

Como o limite muda dependendo do valor de , isso significa que o limite da função não é o mesmo em todos os caminhos que levam a . Quando o limite depende do caminho, dizemos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Calcule os limites :
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Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
Resolva as inequações a seguir: