Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite multivariável: . O conteúdo aqui é sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar o caminho mais simples: manter 2x^2 - 0^2x^2 + 3 cdot 0^2 = 2x^2x^2 = 2 e deixar se aproximar de 0. Substituindo na função, temos:
Então, pelo caminho , o limite é 2.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos deixar 2x^2 - (kx)^2x^2 + 3(kx)^2 = 2x^2 - k^2x^2x^2 + 3k^2x^2 = (2 - k^2)x^2(1 + 3k^2)x^2 = 2 - k^21 + 3k^2 ser proporcional a , ou seja, , onde é uma constante. Substituindo na função:
Aqui, o limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , já vimos que o limite é 2.
  • Se , então o limite é .

Passo 4

Como o limite muda dependendo do valor de , isso significa que o limite da função não é o mesmo em todos os caminhos que levam a . Quando o limite depende do caminho, dizemos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados