Calcule os limites :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular um limite de uma função de duas variáveis. A função em questão é:
Então, o que precisamos entender de matéria para resolver isso? Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar conhecer como calcular limites e entender o comportamento das funções trigonométricas, especialmente o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando substituímos diretamente os valores para os quais as variáveis estão tendendo. Ou seja, se substituirmos
e
na função, teríamos:
Isso nos dá uma indicação de que o limite pode ser 0, mas como estamos lidando com duas variáveis, precisamos ter certeza de que o limite é o mesmo por qualquer caminho que a gente escolha para chegar a
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Sabemos que, para valores pequenos de
, o seno de
pode ser aproximado por
(isto é,
). Assim, podemos reescrever a função como:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão simplificada, temos:
Isso confirma que, independentemente de como
se aproxime de
, o limite tende a 0.
Resposta
O limite é 0.
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Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :