Calcule os limites :
lim (x, y) (1,0) x sin yx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular um limite de uma função de duas variáveis. A função em questão é:
lim (x, y) (1,0) x sin yx^2+1
Então, o que precisamos entender de matéria para resolver isso? Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar conhecer como calcular limites e entender o comportamento das funções trigonométricas, especialmente o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando substituímos diretamente os valores para os quais as variáveis estão tendendo. Ou seja, se substituirmos 1 cdot sin 01^2 + 1 = 02 = 0 e na função, teríamos:
Isso nos dá uma indicação de que o limite pode ser 0, mas como estamos lidando com duas variáveis, precisamos ter certeza de que o limite é o mesmo por qualquer caminho que a gente escolha para chegar a .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Sabemos que, para valores pequenos de x cdot yx^2 + 1 , o seno de pode ser aproximado por (isto é, ). Assim, podemos reescrever a função como:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de .

Passo 4

Substituindo 1 cdot 01^2 + 1 = 02 = 0 e na expressão simplificada, temos:
Isso confirma que, independentemente de como se aproxime de , o limite tende a 0.

Resposta

O limite é 0.

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