Calcule os limites :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites e algumas propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a expressão
depende apenas da variável
. Isso significa que, na verdade, o limite depende só de
se aproximando de zero, mesmo que o enunciado mencione
. Então, podemos focar em calcular
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que para valores de
perto de zero,
pode ser aproximado por
(isso é uma aproximação comum em trigonometria chamada expansão em série de Taylor:
quando
é pequeno). Então, temos:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original, ficamos com:
E sabemos que
, para
próximo de zero, é aproximadamente
. Então:
Quando
se aproxima de zero,
cresce sem limite (vadeia para o infinito) e
vai para zero. Portanto, o comportamento dominante aqui é
.
Passo 5
Como
tende para infinito quando
se aproxima de zero, podemos concluir que:
Resposta
O limite é infinito.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
Calcule os limites :
Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :