Calcule os limites :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de . O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites e algumas propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a expressão depende apenas da variável . Isso significa que, na verdade, o limite depende só de se aproximando de zero, mesmo que o enunciado mencione . Então, podemos focar em calcular .

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Sabemos que para valores de perto de zero, pode ser aproximado por (isso é uma aproximação comum em trigonometria chamada expansão em série de Taylor: quando é pequeno). Então, temos:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, ficamos com:
E sabemos que , para próximo de zero, é aproximadamente . Então:
Quando se aproxima de zero, cresce sem limite (vadeia para o infinito) e vai para zero. Portanto, o comportamento dominante aqui é .

Passo 5

Como tende para infinito quando se aproxima de zero, podemos concluir que:

Resposta

O limite é infinito.

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Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
Calcule os limites :
Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :