Resolva as inequações a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Essa questão envolve inequações com logaritmos, então vamos precisar usar algumas regras de logaritmos para simplificar e resolver para o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante dos logaritmos: a soma de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Ou seja,
Aplicando isso à nossa inequação:
Então, a inequação fica:

Passo 3

Agora, queremos eliminar o logaritmo para facilitar a resolução. Lembrando que se , então . Aplicando isso:
Como , a inequação simplifica para:

Passo 4

Vamos expandir o produto :
Então, a inequação fica:

Passo 5

Agora, vamos levar o 2 para o lado esquerdo da inequação:

Passo 6

Precisamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 7

Com as raízes e , vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para encontrar onde a inequação é verdadeira.
Os intervalos são:
Vamos testar um valor em cada intervalo:
  • Para (intervalo 1):
  • Para (intervalo 2):
  • Para (intervalo 3):
Portanto, a inequação é verdadeira quando .

Passo 8

Mas, antes de finalizar, precisamos lembrar que as expressões dentro dos logaritmos devem ser positivas. Então, as condições são:
Ou seja:
A condição mais restritiva aqui é .

Passo 9

Agora, juntando com a solução da inequação quadrática e a condição , temos que a solução final é o intervalo onde ambos são verdadeiros:

Resposta

A solução da inequação é .

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