Resolva as inequações a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Essa questão envolve inequações com logaritmos, então vamos precisar usar algumas regras de logaritmos para simplificar e resolver para o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante dos logaritmos: a soma de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Ou seja,
Aplicando isso à nossa inequação:
Então, a inequação fica:
Passo 3
Agora, queremos eliminar o logaritmo para facilitar a resolução. Lembrando que se
, então
. Aplicando isso:
Como
, a inequação simplifica para:
Passo 4
Vamos expandir o produto
:
Então, a inequação fica:
Passo 5
Agora, vamos levar o 2 para o lado esquerdo da inequação:
Passo 6
Precisamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 7
Com as raízes
e
, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para encontrar onde a inequação
é verdadeira.
Os intervalos são:
Vamos testar um valor em cada intervalo:
-
Para
(intervalo 1): -
Para
(intervalo 2): -
Para
(intervalo 3):
Portanto, a inequação
é verdadeira quando
.
Passo 8
Mas, antes de finalizar, precisamos lembrar que as expressões dentro dos logaritmos devem ser positivas. Então, as condições são:
Ou seja:
A condição mais restritiva aqui é
.
Passo 9
Agora, juntando com a solução da inequação quadrática
e a condição
, temos que a solução final é o intervalo onde ambos são verdadeiros:
Resposta
A solução da inequação é
.
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