Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai usar coordenadas polares, que é uma técnica bacana para lidar com limites em duas variáveis. Basicamente, ela ajuda a simplificar a expressão trocando e por e , que são a distância até a origem e o ângulo, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
x = r cos theta
y = r sin theta
Onde é a distância até a origem (neste caso, ) e é o ângulo.

Passo 3

Agora, substituímos x^3 - y^3x^2 + y^2 = (r cos theta)^3 - (r sin theta)^3(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e na nossa expressão original:

Passo 4

Vamos expandir os termos:
r^3 cos^3 theta - r^3 sin^3 thetar^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta
Podemos fatorar r^3 (cos^3 theta - sin^3 theta)r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) no numerador e no denominador:

Passo 5

Sabemos que r^3 (cos^3 theta - sin^3 theta)r^2 cdot 1 = r (cos^3 theta - sin^3 theta) , então simplificamos:

Passo 6

Agora, analisamos o limite quando limr to 0 r (cos^3 theta - sin^3 theta) :
Como está multiplicando uma função que está limitada (pois e sempre estão entre -1 e 1), o produto todo tende a zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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