Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente vai usar coordenadas polares, que é uma técnica bacana para lidar com limites em duas variáveis. Basicamente, ela ajuda a simplificar a expressão trocando
e
por
e
, que são a distância até a origem e o ângulo, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
Onde
é a distância até a origem (neste caso,
) e
é o ângulo.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na nossa expressão original:
Passo 4
Vamos expandir os termos:
Podemos fatorar
no numerador e
no denominador:
Passo 5
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 6
Agora, analisamos o limite quando
:
Como
está multiplicando uma função que está limitada (pois
e
sempre estão entre -1 e 1), o produto todo tende a zero.
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
Calcule os limites :
Resolva as inequações a seguir:
Resolva as equações: