Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando e vão chegando perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de um número pequeno pode ser aproximado pelo próprio número. Ou seja, para valores de próximos de zero, . Então, .

Passo 3

Substituindo essa aproximação na função original, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Para entender o comportamento dessa expressão quando , uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e , com .

Passo 5

Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares:

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos fatorar no denominador:

Passo 7

Agora, observamos que quando , o numerador tende a zero, e o denominador permanece finito e diferente de zero. Portanto, todo o quociente tende a zero.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :

Equações polares para cartesianas

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.
27.
Calcule os limites :
Calcule os limites :