Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando
e
vão chegando perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o seno de um número pequeno pode ser aproximado pelo próprio número. Ou seja, para valores de
próximos de zero,
. Então,
.
Passo 3
Substituindo essa aproximação na função original, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Para entender o comportamento dessa expressão quando
, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde
e
, com
.
Passo 5
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares:
Passo 6
Simplificando a expressão, podemos fatorar
no denominador:
Passo 7
Agora, observamos que quando
, o numerador
tende a zero, e o denominador
permanece finito e diferente de zero. Portanto, todo o quociente tende a zero.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
Equações polares para cartesianas
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.
27.
27.
Calcule os limites :
Calcule os limites :