Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando coordenadas polares! O enunciado nos pede para encontrar:
Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis e vamos usar as coordenadas polares para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, a gente transforma as coordenadas cartesianas
para
, onde:
Além disso,
. Isso facilita quando estamos calculando limites perto da origem
, pois
representa a distância até a origem.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na nossa expressão original:
Então, o limite que queremos calcular agora é:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Aplicando isso aqui:
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 5
Para ter certeza, podemos usar o limite conhecido:
Aqui, substituindo
, temos:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Equações polares para cartesianas
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.
27.
27.
Se
tem uma primeira derivada contínua para
e se o ponto
traça a curva
exatamente uma vez conforme
vai de
a
, então o comprimento da curva é:
Encontrando comprimentos de curvas polares
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 21-28.
21. A espiral .
21. A espiral
Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
Calcule os limites :