Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando coordenadas polares! O enunciado nos pede para encontrar:
Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis e vamos usar as coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, a gente transforma as coordenadas cartesianas para , onde:
Além disso, . Isso facilita quando estamos calculando limites perto da origem , pois representa a distância até a origem.

Passo 3

Agora, vamos substituir por na nossa expressão original:
Então, o limite que queremos calcular agora é:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , . Aplicando isso aqui:
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 5

Para ter certeza, podemos usar o limite conhecido:
Aqui, substituindo , temos:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Equações polares para cartesianas

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.
27.
Se tem uma primeira derivada contínua para e se o ponto traça a curva exatamente uma vez conforme vai de a , então o comprimento da curva é:

Encontrando comprimentos de curvas polares

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 21-28.
21. A espiral .
Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
Calcule os limites :