Calcule o limite, se existir.
so nâo exista, explique por quê.
lim x -1 x^2+2 x+1x^4-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que foi pedido: . Aqui a gente está trabalhando com limites de funções racionais, que são aquelas que têm um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador: x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 . Isso é um trinômio quadrado perfeito, que a gente consegue fatorar como . Então, nosso numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador: x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) . Isso é uma diferença de potências, e podemos fatorar usando a fórmula x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Aplicando isso, temos:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Mas ainda dá para fatorar mais o , que também é uma diferença de quadrados:
Então, o denominador fica:

Passo 4

Com o numerador e o denominador fatorados, nossa expressão original fica assim:
(x + 1)^2(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Aí podemos simplificar cancelando um fator (x + 1)(x - 1)(x^2 + 1) que aparece no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite substituindo x + 1 = -1 + 1 = 0 por (x - 1)(x^2 + 1) = (-1 - 1)((-1)^2 + 1) = (-2)(1 + 1) = (-2)(2) = -4 na expressão simplificada. Vamos ver o que acontece:
No numerador:
No denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x -1 x^2+2 x+1x^4-1 = 0-4 = 0

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