Faça um esboço do gráfico da função dada e encontre, se existir, cada um dos limites e ; se não existir, indique a razão disto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa fazer um esboço do gráfico dela. Além disso, vamos calcular os limites quando se aproxima de pela direita e pela esquerda, e ver se o limite geral existe. Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função f(x) = 2x + 3 & se x < 1 4 & se x = 1 x^2 + 2 & se x > 1 está definida:
Isso significa que para valores de menores que 1, usamos a expressão . Para igual a 1, a função vale 4. E para maiores que 1, usamos .
Passo 3
Vamos começar desenhando o gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar cada parte separadamente.
Para : A função é , que é uma reta com inclinação 2 e intercepto 3.
Para : A função tem o valor fixo 4.
Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites.
Limite à esquerda de 1 ( limx to 1^- f(x) = 2(1) + 3 = 5 ):
Aqui, limx to 1^+ f(x) = (1)^2 + 2 = 3 está se aproximando de 1 pelo lado esquerdo, ou seja, valores menores que 1. Usamos a expressão .
Limite à direita de 1 ():
Agora, está se aproximando de 1 pelo lado direito, valores maiores que 1. Usamos a expressão .
Passo 5
Para verificar se o limite geral existe em limx to 1^- f(x) = 5 e limx to 1^+ f(x) = 3 , precisamos ver se os limites à esquerda e à direita são iguais.
Aqui, temos:
Como 5 é diferente de 3, os limites laterais não são iguais.
Resposta
O limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é 5, o limite pela direita é 3. Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.