Calcule o limite ou explique por que ele não existe lim x pi (x-pi)^2pi-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x pi (x-pi)^2pi-x. Esse exercício está relacionado com limites em funções, um tópico importante no cálculo. Para resolver, vamos simplificar a fração e analisar o comportamento dela quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e denominador da fração:
  • Numerador: (x - pi)^2pi - x = (x - pi)^2- (x - pi) = - (x - pi)^2x - pi
  • Denominador:
Aqui, percebemos que o denominador é igual a . Então, podemos reescrever a fração assim:

Passo 3

Agora, observamos que - (x - pi)^2x - pi = - (x - pi) é igual a . Portanto, podemos simplificar a fração cancelando um no numerador com o denominador:
Assim, a expressão simplificada é .

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para limx pi - (x - pi) = - limx pi (x - pi) , podemos calcular o limite conforme se aproxima de :
Sabemos que , porque está se aproximando de , então a diferença vai para zero.

Passo 5

Substituindo esse valor no limite, temos:
- limx pi (x - pi) = - 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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