Calcule o limite ou explique por que ele não existe
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo, mais especificamente sobre limites e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões com raízes e usar a técnica de racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Essa forma
é indeterminada, o que significa que não dá pra concluir o limite apenas substituindo os valores diretamente. Então, precisamos simplificar a expressão de outra maneira.
Passo 3
Uma técnica eficaz pra resolver esse tipo de limite é racionalizar o numerador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No nosso caso, o conjugado de
é
.
Passo 4
Vamos multiplicar a fração original pelo conjugado:
Aplicando a identidade
no numerador.
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o
no numerador e no denominador:
Passo 7
Com a expressão simplificada, é seguro substituir
por 0:
Resposta
O limite é
.
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