Calcule o limite ou explique por que ele não existe lim h 0 raiz4+h-2h.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite lim h 0 raiz4+h-2h. Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo, mais especificamente sobre limites e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões com raízes e usar a técnica de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir h = 0 na expressão para ver o que acontece:
raiz4+0-20 = 2-20 = 00
Essa forma 00 é indeterminada, o que significa que não dá pra concluir o limite apenas substituindo os valores diretamente. Então, precisamos simplificar a expressão de outra maneira.

Passo 3

Uma técnica eficaz pra resolver esse tipo de limite é racionalizar o numerador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No nosso caso, o conjugado de raiz4+h - 2 é raiz4+h + 2.

Passo 4

Vamos multiplicar a fração original pelo conjugado:
raiz4+h-2h times raiz4+h+2raiz4+h+2 = (raiz4+h)^2 - 2^2h(raiz4+h+2)
Aplicando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 no numerador.

Passo 5

Simplificando o numerador:
(raiz4+h)^2 - 2^2 = (4 + h) - 4 = h
Então, a expressão fica:
hh(raiz4+h+2)

Passo 6

Agora, podemos cancelar o h no numerador e no denominador:
1raiz4+h+2

Passo 7

Com a expressão simplificada, é seguro substituir h por 0:
1raiz4+0+2 = 12+2 = 14

Resposta

O limite é 14.

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