Calcule o limite ou explique por que ele não existe .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo, mais especificamente sobre limites e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões com raízes e usar a técnica de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para ver o que acontece:
Essa forma é indeterminada, o que significa que não dá pra concluir o limite apenas substituindo os valores diretamente. Então, precisamos simplificar a expressão de outra maneira.

Passo 3

Uma técnica eficaz pra resolver esse tipo de limite é racionalizar o numerador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No nosso caso, o conjugado de é .

Passo 4

Vamos multiplicar a fração original pelo conjugado:
Aplicando a identidade no numerador.

Passo 5

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o no numerador e no denominador:

Passo 7

Com a expressão simplificada, é seguro substituir por 0:

Resposta

O limite é .

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