Calcule o limite ou explique por que ele não existe
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Isso envolve conceitos de limites e simplificação algébrica, que são fundamentais em cálculo para entender o comportamento de funções próximas a certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão
. Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar o cálculo do limite quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para identificar termos comuns que possamos cancelar. No numerador
, podemos fatorar um
:
No denominador
, podemos fatorar
:
Passo 4
Substituímos as expressões fatoradas na fração original:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a fração cancelando um
que está no numerador e no denominador:
Passo 6
Vamos tentar calcular o limite dessa expressão simplificada quando
se aproxima de 0:
Se substituirmos
diretamente, o denominador fica 0, o que indica que o limite pode tender ao infinito ou não existir. Para entender melhor, vamos analisar de quais lados
está se aproximando de 0.
Passo 7
Analisando os lados:
-
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ): -
é negativo. - O denominador
também é negativo (pois ). - A fração
tende a .
-
-
Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ): -
é positivo. - O denominador
é positivo. - A fração
tende a .
-
Resposta
O limite
não existe, pois tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.
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