Calcule o limite ou explique por que ele não existe lim h 0 3 h+4 h^2h^2-h^3.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Isso envolve conceitos de limites e simplificação algébrica, que são fundamentais em cálculo para entender o comportamento de funções próximas a certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão . Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar o cálculo do limite quando se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para identificar termos comuns que possamos cancelar. No numerador 3 h + 4 h^2 = h (3 + 4 h) , podemos fatorar um h^2 - h^3 = h^2 (1 - h) :
No denominador , podemos fatorar :

Passo 4

Substituímos as expressões fatoradas na fração original:
h (3 + 4 h)h^2 (1 - h)

Passo 5

Agora, podemos simplificar a fração cancelando um 3 + 4 hh (1 - h) que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Vamos tentar calcular o limite dessa expressão simplificada quando lim h 0 3 + 4 hh (1 - h) se aproxima de 0:
Se substituirmos diretamente, o denominador fica 0, o que indica que o limite pode tender ao infinito ou não existir. Para entender melhor, vamos analisar de quais lados está se aproximando de 0.

Passo 7

Analisando os lados:
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
    • é negativo.
    • O denominador também é negativo (pois ).
    • A fração tende a .
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
    • é positivo.
    • O denominador é positivo.
    • A fração tende a .

Resposta

O limite não existe, pois tende a quando se aproxima de 0 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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