Calcule o limite ou explique por que ele não existe lim x 2 raiz4-4 x+x^2x-2.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o limite da função . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de limites e propriedades de funções radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: .

Passo 3

Observando (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 , percebemos que é um trinômio quadrado perfeito. Podemos reescrever isso como , já que:

Passo 4

Agora, substituímos na expressão original:
raiz(x - 2)^2x - 2 = |x - 2|x - 2
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 5

Vamos analisar a expressão quando se aproxima de 2. Isso depende de como se aproxima de 2, ou seja, pela direita ( ) ou pela esquerda ( ).

Passo 6

  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
    • é positivo.
    • .
    • Então, .
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    • é negativo.
    • .
    • Então, .

Passo 7

Como os limites quando se aproxima de 2 pela direita e pela esquerda são diferentes ( e respectivamente), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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