Calcule o limite ou explique por que ele não existe lim x 3 x^2-6 x+9x^2-9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular o limite da função quando se aproxima de 3. Estamos lidando com limites, que é um conceito de cálculo. Pra resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão algébrica e então substituir o valor para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão que temos:
lim x 3 x^2 - 6x + 9x^2 - 9
A ideia aqui é tentar simplificar essa fração. Para isso, vamos fatorar o numerador e o denominador.

Passo 3

Vamos começar pelo numerador x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 . Isso é um trinomio do segundo grau que dá pra fatorar como um quadrado perfeito:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Agora, vamos fatorar o denominador . Esse é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada assim:

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, ficamos com:
lim x 3 (x - 3)^2(x - 3)(x + 3)
Agora, dá pra simplificar. Veja que temos um lim x 3 x - 3x + 3 no numerador e no denominador, então podemos cancelar:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora é só substituir 3 - 33 + 3 = 06 = 0 por 3:

Resposta

O limite é 0.

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