Calcule o limite da função quando se aproxima de através das retas e .
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de quando tende a dê um valor diferente.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite da função quando se aproxima de seguindo diferentes caminhos, especificamente pelas retas e . O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar entender como calcular limites ao longo de diferentes caminhos para determinar se o limite geral existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando nos aproximamos de pela reta . Nesse caso, substituímos por na função:
Então, o limite pela reta é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando nos aproximamos de pela reta . Substituímos por na função:
Portanto, o limite pela reta também é .

Passo 4

Até agora, vimos que o limite pela reta e pela reta é o mesmo, . Porém, para afirmar se o limite geral existe, precisamos verificar se todos os caminhos que levam a resultam no mesmo valor. Se encontrarmos pelo menos um caminho que dê um limite diferente, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 5

Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, a reta . Substituindo por na função:
Assim, o limite ao longo da reta é .

Passo 6

Comparando os limites obtidos:
  • Pela reta :
  • Pela reta :
  • Pela reta :
Como encontramos caminhos que resultam em limites diferentes, podemos concluir que o limite geral da função quando se aproxima de não existe.

Resposta

(a) Não, o limite não existe.
(b) Por exemplo, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é , diferente de .

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