Calcule o limite da função
quando
se aproxima de
através das retas
e
.
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de
quando
tende a
dê um valor diferente.
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
seguindo diferentes caminhos, especificamente pelas retas
e
. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar entender como calcular limites ao longo de diferentes caminhos para determinar se o limite geral existe.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando nos aproximamos de
pela reta
. Nesse caso, substituímos
por
na função:
Então, o limite pela reta
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando nos aproximamos de
pela reta
. Substituímos
por
na função:
Portanto, o limite pela reta
também é
.
Passo 4
Até agora, vimos que o limite pela reta
e pela reta
é o mesmo,
. Porém, para afirmar se o limite geral existe, precisamos verificar se todos os caminhos que levam a
resultam no mesmo valor. Se encontrarmos pelo menos um caminho que dê um limite diferente, podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 5
Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, a reta
. Substituindo
por
na função:
Assim, o limite ao longo da reta
é
.
Passo 6
Comparando os limites obtidos:
- Pela reta
: - Pela reta
: - Pela reta
:
Como encontramos caminhos que resultam em limites diferentes, podemos concluir que o limite geral da função
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
(a) Não, o limite não existe.
(b) Por exemplo, ao se aproximar de
pelo caminho
, o limite é
, diferente de
.
Exercícios relacionados
Considere a função dada por
. Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.
Seja
. Determine o domínio e a imagem de
. Esboce no plano cartesiano o domínio de
.
Determine se as funções a seguir são contínuas em
.
Determine se as funções a seguir são contínuas em
.