Seja . Determine o domínio e a imagem de . Esboce no plano cartesiano o domínio de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função . Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas principais: o domínio da função (ou seja, para quais valores de a função está definida) e a imagem da função (os possíveis valores que pode assumir). Além disso, vamos desenhar no plano cartesiano como é o domínio dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a gente pode colocar na função sem causar problemas, tipo raízes de números negativos ou divisão por zero.
Na nossa função , temos uma raiz quadrada. Para a raiz quadrada estar definida nos números reais, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos garantir que .

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade :
Então, o domínio da função é todo número que está entre -2 e 2, incluindo os extremos.

Passo 4

Agora que temos o domínio, vamos pensar na imagem da função. A imagem são todos os valores que pode assumir quando varia dentro do domínio.
Nossa função é . Sabemos que varia de 0 a 2 porque:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, varia de 0 a 2. Se a gente soma 1 a isso, vai variar de até .
Portanto, a imagem da função é de 1 a 3.

Passo 5

Por último, vamos esboçar o domínio no plano cartesiano. Como o domínio é , no eixo , vamos marcar esses dois pontos (-2 e 2) e desenhar uma reta contínua ligando eles, indicando que todos os valores entre -2 e 2 estão incluídos.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Esboço do domínio: No eixo , uma reta contínua entre -2 e 2.

Exercícios relacionados

Dado duas bolas abertas e , encontre uma bola aberta que esteja na interseção de e .
Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume:
Considere a função dada por . Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.
Calcule o limite da função quando se aproxima de através das retas e .
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de quando tende a dê um valor diferente.