Determine se as funções a seguir são contínuas em (0,0). f(x, y) = { x^4/y^2, se y ≠ 0; 0, se y = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa determinar se a função é contínua no ponto . A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade para funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em , o limite quando tende a deve existir e ser igual a 0. Ou seja, queremos que:
Vamos calcular esse limite verificando diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de .

Passo 3

Vamos começar analisando o caso em que . Nesse caso, a função é definida por . Para calcular o limite, podemos considerar caminhos específicos. Um caminho simples é deixar proporcional a , por exemplo, , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Vamos verificar outro caminho. Suponha que . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Nesse caso, o limite é 1.

Passo 5

Observamos que ao seguir o caminho , o limite é 0, mas ao seguir o caminho , o limite é 1. Como os limites dependendo do caminho escolhido são diferentes, isso significa que o limite geral de quando tende a não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite não existe nesse ponto.

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