Determine se as funções a seguir são contínuas em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa determinar se a função
é contínua no ponto
. A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade para funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em
, o limite quando
tende a
deve existir e ser igual a 0. Ou seja, queremos que:
Vamos calcular esse limite verificando diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
.
Passo 3
Vamos começar analisando o caso em que
. Nesse caso, a função é definida por
. Para calcular o limite, podemos considerar caminhos específicos. Um caminho simples é deixar
proporcional a
, por exemplo,
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Vamos verificar outro caminho. Suponha que
. Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Nesse caso, o limite é 1.
Passo 5
Observamos que ao seguir o caminho
, o limite é 0, mas ao seguir o caminho
, o limite é 1. Como os limites dependendo do caminho escolhido são diferentes, isso significa que o limite geral de
quando
tende a
não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite não existe nesse ponto.