Determine se as funções a seguir são contínuas em
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que verificar se a função
é contínua no ponto
. A função é definida da seguinte maneira:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de duas variáveis. Para determinar a continuidade nesse ponto, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 0.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
. Para isso, vamos abordar o problema por caminhos diferentes e ver se o limite depende do caminho escolhido.
Vamos considerar dois caminhos simples:
-
Caminho 1:Substituindo
na função: Então, quando, o limite é 1. -
Caminho 2:Substituindo
na função: Aqui, a expressão fica indefinida porque o denominador é zero. Isso indica que o limite não existe por esse caminho.
Passo 3
Como vimos, ao aproximar
de
pelo caminho
, o limite é 1, enquanto pelo caminho
, o limite não existe (ou tende ao infinito). Isso significa que o limite de
quando
depende do caminho escolhido.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
não é único e depende do caminho escolhido, a função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite da função
quando
se aproxima de
através das retas
e
.
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de quando
tende a
dê um valor diferente.
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de
Considere a função dada por
. Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.
Determine se as funções a seguir são contínuas em
.
Encontre e esboce no plano cartesiano o domínio da função
.