Determine se as funções a seguir são contínuas em .

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que verificar se a função é contínua no ponto . A função é definida da seguinte maneira:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de duas variáveis. Para determinar a continuidade nesse ponto, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 0.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando . Para isso, vamos abordar o problema por caminhos diferentes e ver se o limite depende do caminho escolhido.
Vamos considerar dois caminhos simples:
  1. Caminho 1:
    Substituindo na função:
    Então, quando , o limite é 1.
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função:
    Aqui, a expressão fica indefinida porque o denominador é zero. Isso indica que o limite não existe por esse caminho.

Passo 3

Como vimos, ao aproximar de pelo caminho , o limite é 1, enquanto pelo caminho , o limite não existe (ou tende ao infinito). Isso significa que o limite de quando depende do caminho escolhido.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de não é único e depende do caminho escolhido, a função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule o limite da função quando se aproxima de através das retas e .
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de quando tende a dê um valor diferente.
Considere a função dada por . Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.
Determine se as funções a seguir são contínuas em .
Encontre e esboce no plano cartesiano o domínio da função .