Considere a função dada por . Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função . Precisamos descobrir três coisas:
  1. Domínio: quais valores de e podemos usar na função sem problemas.
  2. Imagem: quais valores de a função pode produzir.
  3. Curvas de nível e esboço do gráfico: como fica o gráfico dessa função e quais são suas curvas de nível.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de duas variáveis, domínio, imagem, e curvas de nível.

Passo 2

Determinar o domínio. O domínio da função são todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
Então, .
Isso acontece quando e ao mesmo tempo. Portanto, o domínio é todos os reais exceto o ponto .

Passo 3

Determinar a imagem. A imagem da função são todos os valores possíveis de . Observando , notamos que é sempre positivo (já que é a soma de quadrados), então também será sempre positivo.
Além disso, conforme aumenta, diminui, aproximando-se de zero. E conforme se aproxima de zero, cresce sem limite. Portanto, a imagem de é , ou seja, todos os números reais positivos.

Passo 4

Curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Vamos achar essas curvas para um .
Temos:
Resolvendo para :
Isso é a equação de um círculo com raio e centro na origem . Ou seja, para cada valor de , a curva de nível é um círculo de raio .

Passo 5

Esboço do gráfico. A função cria uma superfície que se eleva infinitamente na origem e diminui à medida que nos afastamos dela. É como um “muro” que fica mais baixo conforme nos distanciamos do centro. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano , cada um correspondendo a um valor diferente de .

Resposta

O domínio da função é menos o ponto . A imagem da função é todos os números reais positivos . As curvas de nível são círculos concêntricos de raio no plano , e o gráfico da função é uma superfície que se eleva indefinidamente na origem e diminui à medida que nos afastamos do centro.

Exercícios relacionados

Seja . Determine o domínio e a imagem de . Esboce no plano cartesiano o domínio de .
Dado duas bolas abertas e , encontre uma bola aberta que esteja na interseção de e .
Calcule o limite da função quando se aproxima de através das retas e .
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de quando tende a dê um valor diferente.
Determine se as funções a seguir são contínuas em .