Considere a função dada por
. Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função
. Precisamos descobrir três coisas:
- Domínio: quais valores de
e podemos usar na função sem problemas. - Imagem: quais valores de
a função pode produzir. - Curvas de nível e esboço do gráfico: como fica o gráfico dessa função e quais são suas curvas de nível.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de duas variáveis, domínio, imagem, e curvas de nível.
Passo 2
Determinar o domínio. O domínio da função são todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que o denominador
não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
Então,
.
Isso acontece quando
e
ao mesmo tempo. Portanto, o domínio é todos os
reais exceto o ponto
.
Passo 3
Determinar a imagem. A imagem da função são todos os valores possíveis de
. Observando
, notamos que
é sempre positivo (já que é a soma de quadrados), então
também será sempre positivo.
Além disso, conforme
aumenta,
diminui, aproximando-se de zero. E conforme
se aproxima de zero,
cresce sem limite. Portanto, a imagem de
é
, ou seja, todos os números reais positivos.
Passo 4
Curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
assume um valor constante. Vamos achar essas curvas para um
.
Temos:
Resolvendo para
:
Isso é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
. Ou seja, para cada valor de
, a curva de nível é um círculo de raio
.
Passo 5
Esboço do gráfico. A função
cria uma superfície que se eleva infinitamente na origem e diminui à medida que nos afastamos dela. É como um “muro” que fica mais baixo conforme nos distanciamos do centro. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano
, cada um correspondendo a um valor diferente de
.
Resposta
O domínio da função é
menos o ponto
. A imagem da função é todos os números reais positivos
. As curvas de nível são círculos concêntricos de raio
no plano
, e o gráfico da função é uma superfície que se eleva indefinidamente na origem e diminui à medida que nos afastamos do centro.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine o domínio e a imagem de
. Esboce no plano cartesiano o domínio de
.
Dado duas bolas abertas
e
, encontre uma bola aberta que esteja na interseção de
e
.
Calcule o limite da função
quando
se aproxima de
através das retas
e
.
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de quando
tende a
dê um valor diferente.
(a) Podemos afirmar que o limite existe?
(b) Caso o limite não exista, encontre um outro caminho no qual o limite de
Determine se as funções a seguir são contínuas em
.